Guía docente de Edp de Transporte en Teoría Cinética y Mecánica de Fluidos (M53/56/4/15)

Revisión de modelos en ecuaciones diferenciales de transporte en derivadas parciales originadas en teoría cinética y mecánica de fluidos.

Conocimientos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias.

El alumno sabrá/comprenderá:

• El modelado de sistemas físicos de un gran número de partículas que interactúan, como pueden ser interacciones gravitacionales o electrostáticas.
• Aspectos de modelado mediante el estudio de distintos núcleos de interacción que representen fenómenos de choque, coagulación, fragmentación o dispersión.
• Técnicas de análisis no lineal para el estudio del comportamiento cualitativo de soluciones de problemas originados en Teoría Cinética. Esto le permitirá identificar las diferencias cualitativas y de análisis entre modelos de dispersión y difusión.

El alumno será capaz de:

• Manejar con soltura literatura especializada en EDP’s.
• Llevar a cabo un análisis crítico de un artículo científico que aborde temas relacionados con el curso.
• Defender en exposición pública las conclusiones de dicha revisión.

• Tema1: Modelos de transporte. Leyes de conservación (fluidos, tráfico, ...), modelos cinéticos (ecuaciones de Liouville, Vlasov, Boltzmann).
• Tema 2: Ecuaciones de transporte lineales. Problemas de valores iniciales. Ecuaciones de primer orden con campos regulares y singulares. Ecuaciones de las características. Sistemas dinámicos asociados.
• Tema 3: Introducción a las leyes de conservación escalares no lineales. Condiciones de Ranquine-Hugoniot y condiciones de admisibilidad de singularidad.
• Tema 4: Introducción a las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos.
• Tema 5: La ecuación de Liouville en teoría cinética. Algunos modelos derivados: ecuación de transporte libre, sistemas de Vlasov-Poisson y Vlasov-Maxwell, ecuaciones de Boltzmann y Vlasov-Poisson-Fokker-Planck.
• Tema 6: Generalidades sobre el sistema de Vlasov Poisson. Invarianzas y cantidades conservadas. Estimaciones a priori, control de momentos. Formulación débil, lemas de momentos y existencia. Comportamiento asintótico en el caso repulsivo: la ley pseudoconforme.
• Tema 7: Estabilidad orbital de galaxias. Dispersión en sistemas gravitacionales. Polítropos.
• Tema 8: Estudio de los modelos acoplados de Vlasov-Maxwell. Cinética relativista.

Seminarios impartidos por los alumnos en los que expondrán un trabajo de investigación relacionado con los contenidos de la asignatura.

1. H. Brézis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer, 2011. Versión revisada de Analyse fonctionnelle, Masson, París, 1983.
2. A.J. Chorin, J.E. Marsden, A mathematical introduction to Fluid Mechanics, Springer-Verlag, New York, 1993.
3. R.R. Glassey, The Cauchy Problem in Kinetic Theory, SIAM, Philadelphia, 1996.
4. P.D. Lax, Hyperbolic Partial Differential Equations, Courant Lecture Notes in Mathematics, AMS, 2006.
5. J. Nieto, O. Sánchez, Ecuaciones en derivadas parciales de transporte en teoría cinética y mecánica de fluidos, https://masteres.ugr.es/fisymat/informacion/documentos, 2023.
6. G. Rein, Collisionless kinetic equations from Astrophysics-The Vlasov-Poisson system. Handbook of Differential Equations, Evolutionary equations, Vol. 3. Eds. C.M.Dafermos, E. Feireisl, Elsevier 2007.

1. C. Cercignani, The Boltzmann Equation and Its Applications. Springer-Verlag, New York, 1988.
2. B. Perthame, Transport Equations in Biology, Birkhäuser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2007.
3. C. Villani, A Review of Mathematical Topics in Collisional Kinetic Theory. Handbook of Mathematical Fluid Dynamics, Vol. I., 71-305, North-Holland, Amsterdam, 2002.
4. J. Binney, S. Tremaine, Galactic dynamics. Princeton University Press, Princeton 1987
5. A. Bressan, Hyperbolic Conservation Laws. An Ilustrated Tutorial. Notes for a summer course, Cetraro 2009, disponible online: https://bpb-us-e1.wpmucdn.com/sites.psu.edu/dist/c/168431/files/2023/07/clawtut09.pdf
6. S. Ukai, T. Yang, Mathematical theory of Botlzmann equation, disponible online https://www.cityu.edu.hk/rcms/publications/ln8.pdf

Siguiendo la Normativa de Evaluación y Calificación de los Estudiantes de la Universidad de Granada, la convocatoria ordinaria estará basada preferentemente en la evaluación continua del estudiante, consistente en:

• Valoración de las pruebas, ejercicios, prácticas o problemas realizados individualmente o en grupo a lo largo del curso (Ponderación 45%)
• Realización, exposición y defensa final de informes, trabajos, proyectos y memorias realizadas de forma individual o en grupo (Ponderación 45%)
• Valoración de la asistencia y participación del alumno en clase y en los seminarios, y sus aportaciones en las actividades desarrolladas (Ponderación 10%)

Con la anterior evaluación los alumnos podrán alcanzar el 100% de la evaluación. Alternativamente, los alumnos tendrán la opción de superar la asignatura mediante la realización de un examen final escrito cuya ponderación supondrá el 100% de la nota.

La Normativa anterior establece que quienes no hayan superado la asignatura en la convocatoria ordinaria (con independencia de haber seguido o no un proceso de evaluación continua) dispondrán de una convocatoria extraordinaria, en la que tendrán la posibilidad de obtener el 100% de la calificación mediante la realización de una prueba y/o trabajo.

La Normativa anterior establece que cada estudiante podrá acogerse a una evaluación única final, siempre que lo solicite en el plazo y forma establecidos en la misma (a través del procedimiento electrónico, a la Coordinación del Máster, quien dará traslado al profesorado correspondiente) y no pueda cumplir con el método de evaluación continua por causas justificadas. En caso de serle concedida, la evaluación consistirá en un examen final escrito cuya ponderación supondrá el 100% de la nota.