Guía docente de Topología Algebraica y Aplicaciones (M53/56/4/20)

Se introducirá a los alumnos en las herramientas fundamentales de la topología algebraica, haciendo principal énfasis en las teorías de homología de espacios topológicos y sus aplicaciones. El curso comenzará con un capítulo introductorio donde se describirán los instrumentos básicos a utilizar: El lenguaje de categorías, la estructura de los grupos abelianos, etc. En los capítulos siguientes se desarrollan las teorías de homología singular y simplicial, y se estudiarán sus aplicaciones más clásicas. 

Conocimientos básicos de  Álgebra y Topología General.

Generales: Estudio de los espacios topológicos con herramientas algebraicas.

Trasversales: Conexión entre Álgebra,Topología, Geometría y Física..

Específicas: Construcción de espacios interesantes desde subespacios familiares de los espacios Euclídeos. Clasificación de espacios por invariantes algebraicos. Cálculo de grupos de homología de espacios. Algoritmos.

0.- Introducción: Nociones básicas.

0.1 Algunas notaciones básicas sobre espacios.

0.2 Un problema motivador: El teorema del punto fijo de Brauer.

0.3 El lenguaje de las categorías y funtores.

0.4 La categoría de homotopía de espacios.

0.5  Algunas nociones básicas sobre grupos abelianos.

1.- Complejos de cadenas: Homología.

1.1 La categoría de complejos de cadenas.

1.2 Subcomplejos.

1.3 Homología de complejos.

1.4 Homología relativa.

1.5 Sucesiones exactas de homología.

2.- Homología singular.

2.1 Símplices.

2.2 Complejo singular y Homología singular de un espacio.

2.3 Homología singular reducida.

2.4 Invarianza homotópica.

2.5. Homología singular relativa y sucesiones exactas en homología singular.

2.6 Homología y componentes conexas.

2.7 Escisión..

2.8 Homología de buenos pares y cocientes.

2.9 Teorema de Hurewitz.

3. Homología de esferas: Aplicaciones clásicas.

3.1 Los grupos de homología de una esfera.

3.2 Invarianza de dimensión.

3.3 Teoría del Grado.

3.4 El teorema de punto fijo.

3.5 El teorema de la bola peluda.

3.6 El Teorema Fundamental del álgebra.

4.- Homología simplicial.

4.1 Δ-espacios.

4.2 Homología simplicial.de Δ-espacios.

4.3 Equivalencia entre homología simplicial y singular para Δ-espacios.

5. Cálculo de homología de espacios.

5.1 Estructura de grupos abelianos finitamente generados: coeficientes de torsión y número de Betti.

5.2 Algoritmo de cálculo de coeficientes de torsión y números de Betti de grupos de homología.

5.3 Ejemplos de cálculo de grupos de homología de espacios.

 

- Rotman, Joseph. An introduction to algebraic topology. Vol. 119. Springer Science & Business Media, 2013.

- Hatcher, Allen. Algebraic topology. https://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf - Massey, William S. A basic course in algebraic topology. Vol. 127. Springer Science & Business Media, 1991.

- Minian, Elıas Gabriel. "Notas de Topologıa Algebraica." Curso dictado en Elena II, Vaquerıas. Universidad Nacional de Córdoba, Fa. MAF (2004).

https://pradoposgrado2021.ugr.es/pluginfile.php/148151/mod_resource/content/1/Macho.pdf

https://pradoposgrado2021.ugr.es/pluginfile.php/148176/mod_resource/content/1/sobre%20grupos%20abelianos%20y%20calculo%20de%20homologia.pdf

http://www.ugr.es/~acegarra

https://prado.ugr.es

http://www.ugr.es/~fisymat

http://geometry.ugr.es

La evaluación será continua, basada en:

- Realización de informes, trabajos y memorias de forma individual, lo que pesará un 80% en la calificación final.

- La participación y seguimiento, que aportará un peso del 20% sobre la calificación final.

 

La evaluación extraordinaria será continua, basada en:

- Realización de informes, trabajos y memorias de forma individual, lo que pesará un 80% en la calificación final.

- La participación y seguimiento, que aportará un peso del 20% sobre la calificación final.

La evaluación única se basará al 100% en la realización de informes, trabajos y memorias realizados de forma individual.