Guía docente de Fundamentos Geométricos de la Relatividad General y Gravitación (M53/56/4/23)

Con este curso se proporciona un contenido básico sobre aspectos matemáticos relevantes de los espacio-tiempos de la Relatividad General (R.G.) Desde que Einstein extendió en 1915 el espacio-tiempo de Lorentz-Minkowski a una variedad de Lorentz curvada para modelar campos gravitatorios, la Geometría de Lorentz, en su aspecto local, ha sido la herramienta fundamental en esta rama de la Física. En la década de los setenta, a partir de los trabajos de Hawking, Penrose, Geroch y otros sobre la estructura global del universo (“big bang”, colapso gravitatorio, propiedades de los agujeros negros etc.) la necesidad de desarrollar nuevas técnicas geométricas para el estudio de los modelos cosmológicos pasó a un primer plano. Esto ha constituido un gran aliciente para el espectacular desarrollo contemporáneo de la Geometría de Lorentz global.

El curso se dirige a alumnos procedentes de Física y Matemáticas con el objetivo de que adquieran conocimientos en R.G. desde ambos puntos de vista. Así, el matemático no sólo aprenderá herramientas y problemas geométricos de candente interés, sino que deberá asimilar el punto de vista y motivaciones de los físicos relativistas. Los físicos deberán estudiar la formulación matemáticamente rigurosa de la R.G., la cual resulta imprescindible para un conocimiento claro, profundo y puesto al día de esta teoría.

Se recomienda haber cursado alguna asignatura donde se hayan introducido las variedades diferenciables, como "Principios  de Geometría y Aplicaciones en Física" (del primer cuatrimestre en el máster) o Relatividad General en el grado.

El alumno comprenderá:

-Formulación matemáticamente precisa de resultados y nociones físicas de la Relatividad.

-Propiedades invariantes conformes de la Geometría de Lorentz, con sus aplicaciones a la Causalidad de espaciotiempos.

-Nociones y resultados de singularidades empezando incluyendo la ecuación de Raychaudhuri y algunos resultados clásicos tanto en el contexto cosmológico global (Big-Bang, teorema de Hawking) como en el de colapso gravitatorio (agujeros negros, teorema de Penrose).

-Formulación precisa del problema de valores iniciales en Relatividad General.

-Soluciones más emblemáticas de las ecuaciones de Einstein

El alumno será capaz de:

-Dominar el formalismo de espinores.

-Extender las técnicas de la Geometría Riemanniana clásica a la Geometría de Lorentz, entendiendo con precisión las diferencias y similitudes entre ambas Geometrías.

-Dominar la física descrita por las ecuaciones de Einstein.

-Entender la importancia de simetrías en sistemas físicas

-Relacionar e interpretar la formulación matemática de propiedades físicas

TEMARIO TEÓRICO-PRÁCTICO

Parte I. Fundamentos de Geometría de Lorentz y Relatividad General

I.1 Algebra Lineal lorentziana y aplicaciones a Relatividad Especial.

I.2 Grupo de Lorentz y aplicación espinorial

I.3 Geometría Riemanniana frente a Lorentziana

I.4 Geometría Lorentziana conforme global y Teoría de la Causalidad.

I.5 Campos de observadores

I.6 Ecuación de Raychaudhuri y singularidades

I.7 Ecuación de Einstein

Parte II. Relatividad General Avanzada y Gravitación

II.1 Algebra de Lorentz y de Poincaré y sus representaciones

II.2 Física de las ecuaciones de Einstein: condiciones de energía, cantidades conservadasII.3 Estructura causal y diagramas de Penrose

II.4 Agujeros negros: soluciones, teoremas de unicidad, aspectos cuánticos de la gravedad

II.5 Aproximación del campo débil, ondas gravitacionales

II.6 Formalismo del Vielbein

Cada parte contiene unos contenidos prácticos en los que se desarrollan ejemplos y aplicaciones.

J.K. Beem, P.E. Ehrlich and K.L. Easley: Global Lorentzian Geometry. Second Edition, Pure and Appl. Math. 202, Marcel Dekker, 1996.

S. Carroll, Spacetime and Geometry, Addison-Wesley, 2004.

S.W. Hawking and G.F.R. Ellis: The Large Scale Structure of Spacetime. Cambridge Univ. Press, 1973.

S. Hawking and R. Penrose: The Nature of Space and Time. Princeton University Press, 1996.

M.A. Javaloyes, M. Sánchez: An Introduction to Lorentzian Geometry and its Applications. Sao Carlos: Rima 2010, ISBN: 978-85-7656-180-4.

K. Landsman. Foundations of General Relativity: From Einstein to Black Holes. Nijmegen: Radboud University Press. (2021), publicación en abierto, DOI: https://doi.org/10.54195/EFVF4478

T. Ortín, Gravity and Strings, Cambridge University Press, 2004.

F.J. Palomo y A. Romero: Certain actual topics on modern Lorentzian geometry en : Handbook of Differential Geometry (Edit. F. Dillen y L. Verstraelen para Elsevier), Vol. 2 (2006) 513-546. 

E. Poisson: A relativist's Toolkit. Cambridge University Press, 2007.

H. Ringström: The Cauchy problem in general relativity. ESI Lectures in Mathematics and Physics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2009.

A. Romero, Geometría de Lorentz: de lenguaje a herramienta básica en Relatividad General, Facultat de Matematiques i Estadística, UPC, Conferencies FME, Curs Einstein 2004-2005, Vol. 2 (2006), 127-151.

R.K. Sachs and H.Wu: General Relativity for Mathematicians. Graduate texts in Math., 48, Springer-Verlag, 1977.

R.K. Sachs and H.Wu: General Relativity and Cosmology. Bull. Amer. Math. Soc., 83 (1997), 1101-1164.

B. Thide: Electromagnetic Field Theory. Upsilon books, 2004.

R.M. Wald: General Relativity. University of Chicago Press, Chicago, 1984

A.N. Bernal, M. Sánchez: Un paseo por las geometrías del espaciotiempo en el centenario de la Relatividad General, La Gaceta de la RSME Vol. 18 (2015), Núm. 3, Págs. 521–542.

http://relativity.livingreviews.org/

http://www.damtp.cam.ac.uk/user/gr/public/index.html

(E1) Valoración de las pruebas, ejercicios, prácticas o problemas realizados individualmente o en grupo a lo largo del curso (90%). La evaluación de la actividad entregada se podrá complementar oralmente, según criterio del profesor.

(E4) Valoración de la asistencia y participación del alumno en clase y en los seminarios, y sus aportaciones en las actividades desarrolladas (10%).

• Parte I: Entrega de problemas
• Parte II: Trabajo de investigación
• Parte III: Entrega de problemas

La evaluación de la actividad entregada se podrá complementar con una sesión oral sobre ella.

Sesión oral en la que se defenderán tareas de cada una de las tres partes previamente entregadas.