Guía docente de Simetrías y Grupos de Lie en Física Matemática (M53/56/2/29)

A. Fundamentos Matemáticos.

A1. Grupos de Lie. Subgrupos uniparamétricos y Álgebras de Lie. Grupos lineales general y especial, grupos unitarios, grupos ortogonales, grupos simplécticos, grupos euclidianos y de Poincaré.

A2. La aplicación exponencial. Fórmula de Baker-Hausdorff-Campbel.

A3. Representaciones Lineales. Representaciones adjuntas y coadjuntas. Representaciones irreducibles. Suma directa y producto tensor. Descomposición de representaciones. Teorema de Peter-Weyl. Representaciones de SO(3) y SU(2).

A4. Perspectiva de la teoría general: álgebras de Lie semisimples. Diagramas de pesos y raíces. Ejemplos. Representaciones de SU(3).  

B. Aplicaciones Físico-Matemáticas

B.1 Simetrías Básicas en Mecánica y Teoría Clásica de Campos. Invariantes Noether y Variedad de Soluciones.

B.2 Representaciones Unitarias e Irreducibles de Algebras de Poisson: Cuantización sobre Grupos

B.3 Simetría de las Teorías Gauge: Interacciones “Internas” (asociadas a simetrías internas) y Gravitación.

B.4. Cuantización Unitaria y Finita de Teorías de Stueckelberg No Abelianas. Teorías Gauge Masivas. Generalización del Modelo Estándar de Partículas.

Se recomienda soltura en el manejo del Cálculo Diferencial y del Álgebra Lineal. 

El alumno comprenderá: 

-La noción matemática de grupo de Lie, las propiedades fundamentales de los mismos y sus morfismos, así como el conocimiento de varios ejemplos básicos en Física Matemática.

-La comprensión de la construcción del álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie y la transferencia de información entre estos objetos algebraicos.

-El concepto de representación lineal de un grupo de Lie y su relación con la de representación de su álgebra de Lie.

-La noción de grupo de Lie y álgebra de Lie semisimple y conceptos inherentes (como pesos, sistema de raíces), y un conocimiento detallado de las representaciones finito dimensionales de los grupos U(1), SU(2), SO(3), SU(3).

- Una visión geométrica y algebraica de la formulación de la Mecánica y Teoría de Campos.

- La comprensión del papel relevante en Física del empleo de las simetrías asociadas a Grupos de Lie.

- Un mejor entendimiento de la estructura simpléctica de la variedad de soluciones de un problema Físico como órbitas co-adjuntas de Grupos de Lie. Aplicaciones a grupos unitarios SU(N).

- Y con ello de una forma de Cuantización no Canónica, Grupo-Teórica, necesaria para los sistemas No-Lineales, como por ejemplo, los Modelos Sigma no Lineales con simetrías SO(N) y SU(N).

El alumno será capaz de:

- Calcular el álgebra de Lie de varios ejemplos fundamentales de grupo de Lie.

-Manejar las nociones y operaciones básicas con representaciones, como equivalencia de representaciones, suma directa, producto tensor, representación irreducible y representación completamente reducible.

-Calcular bases ortogonales de funciones representativas sobre grupos compactos a partir de sus representaciones irreducibles. 

- Identificar las simetrías espacio-temporales e internas relevantes de sistemas Mecánicos y en Teoría de Campos.

- Saber calcular los generadores infinitesimales y observables físicos asociados a dichas simetrías.

- Hacer uso de dichas simetrías para construir la teoría cuántica de modelos sencillos como una representación de las mismas en un espacio de Hilbert.

A. Fundamentos Matemáticos.

A1. Grupos de Lie. Subgrupos uniparamétricos y Álgebras de Lie. Grupos lineales general y especial, grupos unitarios, grupos ortogonales, grupos simplécticos, grupos euclidianos y de Poincaré.

A2. La aplicación exponencial. Fórmula de Baker-Hausdorff-Campbel.

A3. Representaciones Lineales. Representaciones adjuntas y coadjuntas. Representaciones irreducibles. Suma directa y producto tensor. Descomposición de representaciones. Teorema de Peter-Weyl. Representaciones de SO(3) y SU(2).

A4. Perspectiva de la teoría general: álgebras de Lie semisimples. Ejemplos. Diagramas de pesos y raíces.  Representaciones de SU(3).

B. Aplicaciones Físico-Matemáticas

B.1 Simetrías Básicas en Mecánica y Teoría Clásica de Campos. Invariantes Noether y Variedad de Soluciones.

B.2 Representaciones Unitarias e Irreducibles de Algebras de Poisson: Cuantización sobre Grupos

B.3 Simetría de las Teorías Gauge: Interacciones “Internas” (asociadas a simetrías internas) y Gravitación.

B.4. Cuantización Unitaria y Finita de Teorías de Stueckelberg No Abelianas. Teorías Gauge Masivas. Generalización del Modelo Estándar de Partículas.

-Baker, A. Matrix groups. An introduction to Lie Group Theory, Springer, 1989.

-Hall, B. C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An elementary introduction. Springer, 2003.

-Humpreys, J. E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer, 1990.

-Isham, C. J. Modern Differential Geometry for Physics, World Scientific, 2001.

-Postnikov, M. Lectures in Geometry, Semester V. Lie Groups and Lie Algebras, URSS Publishers Moscow, 1986.

-Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras and their Representations, Springer, 1984.

-Fonda, L and Ghirardi, G. Symmetry principles in quantum physics, Marcel Dekker, New York (1970)

-Hamermesh, M. Group theory and its application to physical problems, Dover Publications (1989)

-Greiner, W. and Muller, B. Quantum Mechanics: Symmetries, Springer (1994)

El artículo 17 de la Normativa de Evaluación y Calificación de los Estudiantes de la Universidad de Granada establece que la convocatoria ordinaria estará basada preferentemente en la evaluación continua del estudiante, excepto para quienes se les haya reconocido el derecho a la evaluación única final.

E1. Valoración de las pruebas, ejercicios, prácticas o problemas realizados individualmente o en grupo a lo largo del curso.

E2. Realización, exposición y defensa final de informes, trabajos, proyectos y memorias realizadas de forma individual o en grupo

E3. Realización de exámenes parciales o finales escritos.

E4. Valoración de la asistencia y participación del alumno en clase y en los seminarios, y su aportación en las actividades desarrolladas.

El artículo 19 de la Normativa de Evaluación y Calificación de los Estudiantes de la Universidad de Granada establece que los estudiantes que no hayan superado la asignatura en la convocatoria ordinaria dispondrán de una convocatoria extraordinaria. A ella podrán concurrir todos los estudiantes, con independencia de haber seguido o no un proceso de evaluación continua. De esta forma, el estudiante que no haya realizado la evaluación continua tendrá la posibilidad de obtener el 100% de la calificación mediante la realización de una prueba y/o trabajo. Dicha prueba consistirá en un examen sobre contenidos teóricos y resolución de problemas sobre el temario.

El artículo 8 de la Normativa de Evaluación y Calificación de los Estudiantes de la Universidad de Granada establece que podrán acogerse a la evaluación única final, el estudiante que no pueda cumplir con el método de evaluación continua por causas justificadas.

Para acogerse a la evaluación única final, el estudiante, en las dos primeras semanas de impartición de la asignatura o en las dos semanas siguientes a su matriculación si ésta se ha producido con posterioridad al inicio de las clases o por causa sobrevenidas. Lo solicitará, a través del procedimiento electrónico, a la Coordinación del Máster, quien dará traslado al profesorado correspondiente, alegando y acreditando las razones que le asisten para no poder seguir el sistema de evaluación continua.

Dicha prueba consistirá en un examen sobre contenidos teóricos y resolución de problemas sobre el temario.